Le Hasard Appréhender l’aléatoire – Quantifier le probable
Des conceptions à démonter et des questions à résoudre

-* Quelles représentations dans la vie quotidienne du hasard ?

• Quelles conceptions mettons-nous en œuvre spontanément à propos du hasard ?
• D’où viennent t’elles ?
  Des convictions communément partagées :
  • L’idée que le hasard est juste : si on a deux fois de suite pile en lançant une pièce on attend comme normal d’avoir face au lancer suivant !
  • L’idée que le hasard est hétérogène, c’est à dire composite, disparate, dissemblable, divers, mélangé, mêlé, varié : on trouve suspect d’avoir :
    • Pile – Face – Pile – Face – Pile – Face – Pile – Face
      alors que :
    • Pile – Pile – Face –Face – Face – Pile – Pile – Face
      apparaît plus probable …
  • La négligence de la taille de l’échantillon : on infère très souvent de quelques exemples vécus des « vérités ». C’est sur cette erreur que se fondent certaines superstitions : « rencontrer un chat noir porte malheur » , … des personnes ont un chat noir et ont sans doute beaucoup de chance de ne pas être accablées … MAIS aussi :
  • L’idée que le Hasard est ce qui est imprévisible et qu’on ne peut pas décrire ou expliquer.
  • L’idée que le Hasard est quand on agit hors de nos sens : on répond sans réfléchir, on choisit en formant les yeux, on procède au pif.
  • L’idée que le hasard a avoir avec la chance : « Au petit bonheur la chance ».
• A quoi tient la stabilité de nos intuitions sur le hasard alors qu’elles sont fausses ?
• Pourquoi nous trompons-nous si souvent alors que nous pensons avoir raison ?

ETUDE

Pour commencer la réflexion sur le hasard les élèves de la classe de 3D ont réalisé une activité qui au démarrage leur posait une question qui leur semblait intraitable ! Voilà la question :

On dispose d’un segment [MN]. On choisit sur ce segment deux points A et B au hasard. Quelle est la probabilité que la longueur du segment [AB] obtenu soit supérieure à la moitié du segment de départ [MN] ?
Déroulement

• 1. La classe est perplexe : « mais ce n’est pas calculable, puisque c’est le hasard ! On ne peut pas prévoir, ça peut être n’importe quoi !
• 2. On fait des essais … on collecte les résultats … peu concluant. Ce n’est pas facile de choisir au hasard deux points sur le segment, surtout les yeux ouverts !
• 3. On essaie de voir comment formuler autrement le problème. Choisir un point sur [MN], si on considère M et N comme deux points d’une droite graduée de repère (M ;N) ; (M a pour abscisse 0 et N a pour abscisse 1), revient à choisir un nombre de 0 à 1, les limites comprise. Ainsi choisir A et B sur [MN] revient à choisir deux nombres de 0 à 1. Choisir des nombres est plus facile surtout que l’ordinateur peut le faire grâce à la fonction ALEA().
• 4. SIMULATION sur tableur. Il s’agit de traduire les essais réels par des essais « fictifs » grâce à un outil de modélisation ici le tableur. Choisir « 2 points sur [MN] » est traduit par « tirer au sort deux nombres de 0 à 1 ». Sur le tableur cela se représente en inscrivant la formule = ALEA() dans deux cellules.
  Que la longueur AB est plus grande que la moitié de MN se traduit par AB > 0,5

Copie d’écran d’un élève pour illustrer de mise en page :

AVEC :

• =ALEA() pour Tirage au sort d’un nombre entre 0 et 1
• =ABS(A1-B1) pour Calcul de AB : distance à zéro de la différence (écart) entre les 2 valeurs tirées.
• =SI(C1>0,5 ;1;0) pour Test pour savoir si AB est plus grand que 0,5 : Si Oui, la valeur est 1, sinon la valeur est 0.
• =SOMME(D1:D100) pour Somme de toutes les valeurs de la cellule D1 à D100

Après une phase de flottement, les élèves saisissent la pertinece de la modélisation, la puissance des essais leur est manifeste La consigne demandait 100 essais. Mais en appliquant la fonction recopier vers le bas, plusieurs prennent l’initiative d’aller bien au delà de 100. En faisant le point on collecte des résultats pour 100 essais, pour 200, ... pour 1000 essais … L’évolution des fréquences des issues "saute aux yeux". Quand le nombre d’essais augmente on repère une « stabilisation » progressive des résultats :

 En collectant les 12 résultats des élèves de la classe pour 1000 essais on peut conjecturer que la probabilité pour la longueur AB d’être plus grande que la moitié de la longueur MN est proche de 25% ! Etonnant non !

segment_proba

On a montré qu’un phénomène aléatoire assez imprévisible peut être « décrit » par modélisation et simulation.
Bravo aux élèves de 3D !